Question

已知的展開式的二項式系數的和比(3x－1)ⁿ的展開式的二項式系數和大992,求(2x－)²ⁿ的展開式中，(1)二項式系數最大的項；(2)系數的絕對值最大的項．

Answer 1

(1) T₆=－8 064; (2) T₄＝－15 360x⁴．

試題分析：(1)的二項式系數和為 ，則由題可得，得，由二項式系數的性質知第項最大；(2) 設第r＋1項的系數的絕對值最大，可得到關于的不等式，解得取整可知，代回可得系數的絕對值最在的項為第項．
解：由題意知，2²ⁿ－2ⁿ＝992，
即(2ⁿ－32)(2ⁿ＋31)＝0，∴2ⁿ＝32，解得n＝5．  4分
(1)由二項式系數的性質知，的展開式中第6項的二項式系數最大，即．
∴．  6分
(2)設第r＋1項的系數的絕對值最大，
∴．
∴，  8分
得，即，
解得，  10分
∵r∈Z，∴r＝3．故系數的絕對值最大的是第4項，
．  12分