Question

本小題滿分14分）

（Ⅰ）已知函數，其中為有理數，且. 求的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結果證明如下命題：設，為正有理數. 若，則；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.

注：當為正有理數時，有求導公式.

 

Answer 1

【答案】

詳見解析

【解析】本題主要考察利用導數求函數的最值，并結合推理，考察數學歸納法，對考生的歸納推理能力有較高要求。

（Ⅰ），令，解得.

當時，，所以在內是減函數；

當  時，，所以在內是增函數.

故函數在處取得最小值.                               

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，有，即   ①

若，中有一個為0，則成立；

若，均不為0，又，可得，于是

在①中令，，可得，

即，亦即.

綜上，對，，為正有理數且，總有.   ②

    

 

（Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為：

設為非負實數，為正有理數.

若，則.            ③    

用數學歸納法證明如下：

（1）當時，，有，③成立.                      

（2）假設當時，③成立，即若為非負實數，為正有理數，

且，則.                

當時，已知為非負實數，為正有理數，

且，此時，即，于是

=.

因，由歸納假設可得

，

從而.

又因，由②得

，

從而.

故當時，③成立.

由（1）（2）可知，對一切正整數，所推廣的命題成立.                   

說明：（Ⅲ）中如果推廣形式中指出③式對成立，則后續證明中不需討論的情況.