Question

設函數f(x)=x³+x²+(m²-1)x(x∈R)，其中m＞0，
(Ⅰ)當m=1時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線的斜率；
(Ⅱ)求函數f(x)的單調區間與極值；
(Ⅲ)已知函數f(x)有三個互不相同的零點0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)當m=1時，，
f′(x)=-x²+2x，故f′(1)=1，
所以曲線y=f(x)在點（1，f(1)）處的切線的斜率為1。
(Ⅱ)f′（x）=x²+2x+m2-1，
令f′(x)=0，解得x=1-m或x=1+m，
因為m＞0，所以1+m＞1-m，
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

 所以f(x)在（-∞，1-m），(1+m，+∞)內是減函數，在（1-m，1+m）內是增函數，
函數f(x)在x=1-m處取得極小值f(1-m)，且，
函數f(x)在x=1+m處取得極大值f(1+m)，且。
(Ⅲ)由題設，，
所以方程有兩個相異的實根x₁，x₂，
故，且，
解得（舍）或，
因為x₁＜x₂，所以，故，
若，則，
而f(x₁)=0，不合題意，
若1＜x₁＜x₂，對任意的x∈[x₁，x₂]，有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則，
又f(x₁)=0，所以 f(x)在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立的充要條件是，
解得；
綜上，m的取值范圍是。