Question

如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.
（1）求證：∥平面；（2）求證：；
（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1)祥見解析；（2）祥見解析；（3）存在滿足條件的.

解析試題分析：（1）O是AD₁的中點，連接OE，由中位線定理可得EO∥BD₁，再由線面平行的判定定理可得BD₁∥平面A₁DE；
（2）由正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，根據面面垂直的性質定理可得AB⊥平面ADD₁A₁，進而線面垂直的性質定理得到AB⊥A₁D，結合A₁D⊥AD₁及線面垂直的判定定理，可得A₁D⊥平面AD₁E，進而D₁E⊥A₁D；
（3）以點D為原點，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設M（1，a，0）（0≤a≤2），分別求出平面D₁MC的法向量和平面MCD的一個法向量，根據二面角D₁-MC-D的大小為，結合向量夾角公式，構造關于a的方程，解方程可得M點的坐標，進而求出AM長．
試題解析：（1)連結交于，連結,因為四邊形為正方形，所以為的中點，又點為的中點，在中，有中位線定理有//，而平面，平面，
所以，//平面.
（2）因為正方形與矩形所在平面互相垂直，所以，，
而，所以平面，又平面，所以.
（3）存在滿足條件的.
依題意，以為坐標原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，因為，則，，，，，所，
易知為平面的法向量，設，所以平面的法向量為，所以，即，所以，取，
則，又二面角的大小為，
所以，解得.
故在線段上是存在點