Question

如圖，線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）（m＞0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線．
（1）求拋物線方程；
（2）若m為定值，求△AOB面積的最小值；
（3）若∠AOB=，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB方程為：x=ky+m，拋物線方程為：y²=2px（p＞0），由 得，y²-2pky-2pm=0，再由韋達定理能夠導出拋物線方程；
（2）由=，能夠導出△AOB面積的最小值；
（3）==，由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（1）設直線AB方程為：x=ky+m，拋物線方程為：y²=2px（p＞0），
由 得，y²-2pky-2pm=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，
由題意，|-2pm|=2m⇒2p=2，
故所求拋物線方程為：y²=2x；
（2）
=
=m．
（3）=
=，
∴，
∴．
點評：本題考查拋物線方程的求法，求△AOB面積的最小值和求實數m的取值范圍．解題時要認真審題，仔細挖掘題設中的隱含條件，靈活運用拋物線的性質，合理地進行等價轉化．