Question

已知兩點A(0，

3

)，B(0，-

3

)．曲線G上的動點P（x，y）使得直線PA、PB的斜率之積為-

3

4

．
（I）求G的方程；
（II）過點C（0，-1）的直線與G相交于E、F兩點，且

EC

=2

CF

，求直線EF的方程．

Answer 1

分析：（I）利用曲線G上的動點P（x，y）使得直線PA、PB的斜率之積為-

3

4

，建立方程，化簡可得G的方程；
（II）設(shè)直線方程，代入G的方程，利用韋達(dá)定理及

EC

=2

CF

，求出直線的斜率，即可求直線EF的方程．

解答：解：（I）由題知，kAP=

y- 3

x

，kBP=

y+ 3

x

(x≠0)，
故kABkBP=

y2-3

x2

=-

3

4

(x≠0)，化簡得G的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1(x≠0)．（4分）
（II）設(shè)E（x₁y₁），F(xiàn)（x₂y₂），由

.

EC

=2

.

CF

得x₁=-2x₂．（6分）
設(shè)直線EF的方程為y=kx-1，代入G的方程可得：（3+4k²）x²-8kx-8=0   （8分）
∴x1+x2=

8k

3+4k2

，x1x2=

-8

3+4k2

又x₁=-2x₂，∴-x2=

8k

3+4k2

，-

2x

2 2

=

-8

3+4k2

，（10分）
將x₂消去得k2=

1

4

即k=±

1

2

故直線EF的方程為y=±

1

2

x-1．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識，考查韋達(dá)定理的運用，屬于中檔題．