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已知f（x）在（-1，1）上有定義，f（
1
2
）=-1，且滿足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
）
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；?
（2）對數列x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+xn2
，求f（xn）；?
（3）求證
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＞-
2n+5
n+2
（Ⅰ）證明：令x=y=0，∴2f（0）=f（0），∴f（0）=0
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=0∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數（4分）
（Ⅱ）f（x1）=f（
1
2
）=-1，f（xn+1）=f（
2xn
1+xn2
）=f（
xn+xn
1+xn•x n
）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴
f(xn+1)
f(xn)
=2即{f（xn）}是以-1為首項，2為公比的等比數列
∴f（xn）=-2n-1
（Ⅲ）
1
f(x1)
+
1
f(x2)
++
1
f(xn)
=(1+
1
2
+
1
22
++
1
2n-1
)=-
1-
1
2n
1-
1
2
=-(2-
1
2n-1
)=-2+
1
2n-1
＞-2
而-
2n+5
n+2
=-(2+
1
n+2
)=-2-
1
n+2
＜-2
∴
1
f(x1)
+
1
f(x2)
++
1
f(xn)
＞-
2n+5
n+2
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f(
1
2
)=1，且滿足x，y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)．對數列{xn}有x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+
x
2
n
(n∈N*)
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（2）求f（xn）的表達式．
（3）是否存在自然數m，使得對于任意n∈N*且
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＜
m-8
4
成立？若存在，求出m的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f（
1
2
）=-1，且滿足x，y∈（-1，1）有f（x）+f（y）=f（
x+y
1+xy
）
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；?
（2）對數列x1=
1
2
，xn+1=
2xn
1+xn2
，求f（xn）；?
（3）求證
1
f(x1)
+
1
f(x2)
+…+
1
f(xn)
＞-
2n+5
n+2

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）在（-1，1）上有定義，f(
1
2
)=-1且滿足x，y∈（-1，1）時，有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（2）數列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
，xn=f（an），求{xn}的通項公式．
（3）求證：1+f(
1
5
)+f(
1
11
)+…+f(
1
n2+3n+1
)=-f(
1
n+2
)．

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科目：高中數學 來源：2007-2008學年重慶八中高三（下）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知f（x）在（-1，1）上有定義，，且滿足x，y∈（-1，1）有．對數列{xn}有
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（2）求f（xn）的表達式．
（3）是否存在自然數m，使得對于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

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科目：高中數學 來源：2010年天津市大港中學高三數學二輪綜合練習試卷（解析版） 題型：解答題

已知f（x）在（-1，1）上有定義，，且滿足x，y∈（-1，1）有．對數列{xn}有
（1）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（2）求f（xn）的表達式．
（3）是否存在自然數m，使得對于任意n∈N*且＜成立？若存在，求出m的最小值．

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