Question

（2006•東城區一模）已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），數列{a_n}滿足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（Ⅰ）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）若bn=

9

10

(n+2)(an-1)，當n取何值時，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

分析：（ I）表示出（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，可化簡為an+1=

9

10

an+

1

10

，可證

an+1-1

an-1

為常數；
（Ⅱ）（Ⅱ）由（ II）可知a_n-1=(

9

10

)n-1（n∈N^*），則bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n，作商

bn+1

bn

，通過與1比較大小可{b_n}的單調情況，由此可的最大值；

解答：解：（ I）∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f(an)=(an-1)2，g（a_n）=10（a_n-1），
∴(an+1-an)10(an-1)+(an-1)2=0，即（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知對任何n∈N^*，a_n-1≠0，
所以an+1=

9

10

an+

1

10

．
∵

an+1-1

an-1

=

9 10 an+ 1 10 -1

an-1

=

9

10

，
∴{a_n-1}是以a₁-1=1為首項，公比為

9

10

的等比數列．
（Ⅱ）由（ II）可知a_n-1=(

9

10

)n-1（n∈N^*）．
∴bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n，

bn+1

bn

=

(n+3)( 9 10 )n+1

(n+2)( 9 10 )n

=

9

10

(1+

1

n+2

)．
當n=7時，

b8

b7

=1，b₈=b₇；
當n＜7時，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；
當n＞7時，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n．
∴當n=7或n=8時，b_n取最大值，最大值為b7=b8=

98

107

．

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查數列的函數特性，屬中檔題．