Question

已知函數f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2的導函數為f'（x）=-x³+2x²+x+d．
（1）求實數a、b、c、d的值；
（2）若函數y=f（x）在區間(m，m+

1

2

)上存在極值，求實數m的范圍；
（3）若函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，求實數p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2對其進行求導，根據已知的導函數求出函數的系數；
（2）令f′（x）=0，可以求出極值點，列出表格得到單調區間，求出極大值和極小值，要使函數y=f（x）在區間(m，m+

1

2

)上存在極值，區間(m，m+

1

2

)中應該包含極值點，從而列出不等式求出實數m的范圍；
（3）函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，要分兩種情況進行討論：當函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與x軸無交點時；當函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與y軸無交點時；利用對數函數的性質進行計算；

解答：解：（1）∵f（x）=ax⁴+bx³+cx²-2x-2，
∴f′（x）=4ax³+3bx²+2cx-2=-x³+2x²+x+d．
可得4a=-1，3b=2，2c=1，d=-2，
∴a=-

1

4

，b=

2

3

，c=

1

2

，d=-2，
（2）由（1）知f（x）=-

1

4

x⁴+

2

3

x³+

1

2

x²-2x-2，
f′（x）=-x³+2x²+x-2=-（x+1）（x-1）（x-2），令f′（x）=0，
得x=-1或x=1或x=2，
列表得：
∴函數f（x）有極大值f（-1）=-

5

12

，f（2）=-

8

3

，極小值f（1）=-

37

12

；

x	（-∞，1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+	+	-
f（x）	增函數	f（-1）=- 5 12	減函數	f（1）=- 37 12	增函數	f（2）=- 8 3	減函數

∵函數y=f（x）在區間(m，m+

1

2

)上存在極值，
∴

m＜-1 -1＜m+ 1 2 ≤1

或

0＜m＜1 1＜m+ 1 2 ≤2

或

1≤m＜2 m+ 1 2 ＞2.

…（5分）
解得-

3

2

＜m＜-1或

1

2

＜m＜1或

3

2

＜m＜2．
故實數m∈(-

3

2

，-1)∪(

1

2

，1)∪(

3

2

，2)．          …（6分）
（3）函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與坐標軸無交點，有如下兩種情況：
（ⅰ）當函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與x軸無交點時，
必須有：

f(x)+p＞0有解 f(x)+p=1無解

即

[f(x)+p]max＞0 1不在y=f(x)+p的值域里

而[f(x)+p]max=-

5

12

+p，
函數y=f（x）+p的值域為(-∞，-

5

12

+p]，
∴

- 5 12 +p＞0 1＞- 5 12 +p

解得

5

12

＜p＜

17

12

．             
（ⅱ）當函數y=log₂[f（x）+p]的圖象與y軸無交點時，
必須有：

f(x)+p＞0有解 log2[f(0)+p]不存在

即

[f(x)+p]max＞0 f(0)+p≤0或f(0)不存在 .

而f（0）=-2有意義，
∴

[f(x)+p]max＞0 f(0)+p≤0

即

- 5 12 +p＞0 -2+p≤0

解得

5

12

＜p≤2．
由（ⅰ）、（ⅱ）知，p的范圍是：
{p|

5

12

＜p＜

17

12

}∩{p|

5

12

＜p≤2}={p|

5

12

＜p＜

17

12

}，
故實數p的取值范圍是(

5

12

，

17

12

)．

點評：本題是一道難題，但是第一問比較簡單，用待定系數法很容易求解，第二問考查利用導數研究函數的單調區間，是一種常用的方法，第三問需要分類討論，考慮問題要全面，此題是一道綜合性很強的題，需要同學們好好整理．