Question

在各項均為負數的數列中，已知點在函數的圖像上，且．
（Ⅰ）求證：數列是等比數列，并求出其通項；
（Ⅱ）若數列的前項和為，且，求．

Answer 1

（1）；（2）.

本題考查等比數列的概念、通項，等比數列和等差數列的求和。高考對數列的考查難度在下降，其考查的重點轉變為考查數列中的基本問題、兩類基本數列，以及數列求和方面。解決兩類基本數列問題的一個重要思想是基本量方法，即通過列出方程或者方程組求出等差數列的首項和公差、等比數列的首項和公比。數列求和要掌握好三個方法，一個是本題使用的分組求和，第二個是錯位相減法，第三個是裂項求和法。（1）把點的坐標代入直線方程，根據等比數列的定義進行證明，顯然公比是，再根據條件求出首項即可求出這個數列的通項公式；（2）數列是一個等比數列和一個等差數列的對應項的和組成的數列，分別求和即可。
解：（1）因為點在函數的圖像上，所以故數列是公比的等比數列因為由于數列的各項均為負數，則所以…………．6分
（2）由（1）知，，所以…12分