Question

（06年湖南卷文）（14分）

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點.

（Ⅰ）當軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C₂的焦點是否在直線AB上；

　（Ⅱ）若且拋物線C₂的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.

Answer 1

解析：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為

    x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）.

    因為點A在拋物線上，所以，即.

    此時C₂的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上.

   （Ⅱ）解法一　當C₂的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為.

由消去y得.           ……①

設A、B的坐標分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

則x₁,x₂是方程①的兩根，x₁＋x₂＝.

因為AB既是過C₁的右焦點的弦，又是過C₂的焦點的弦，

所以，且

.

從而.

所以，即.

解得.

因為C₂的焦點在直線上，所以.

即.

當時，直線AB的方程為；

當時，直線AB的方程為.

解法二　當C₂的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程

為.

由消去y得.          　　　　　　　 ……①

因為C₂的焦點在直線上，

所以，即.代入①有.

即.                                     ……②

設A、B的坐標分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

則x₁,x₂是方程②的兩根，x₁＋x₂＝.

由消去y得.           　　……③

 

由于x₁,x₂也是方程③的兩根，所以x₁＋x₂＝.

從而＝. 解得.

因為C₂的焦點在直線上，所以.

即.

當時，直線AB的方程為；

當時，直線AB的方程為.

 解法三　設A、B的坐標分別為（x₁,y₁）, （x₂,y₂）,

因為AB既過C₁的右焦點，又是過C₂的焦點，

所以.

即.                                         ……①

由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……②

且直線AB的方程是,

所以.                                ……③

又因為，所以.         ……④

將①、②、③代入④得，即.

當時，直線AB的方程為；

當時，直線AB的方程為.