Question

（本小題共l4分）
已知函數，．
（Ⅰ）設函數F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的單調區間與極值；
（Ⅱ）設，解關于x的方程；
（Ⅲ）設，證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ），

．
令，得（舍去）．
當時．；當時，，
故當時，為增函數；當時，為減函數．
為的極大值點，且．
（Ⅱ）方法一：原方程可化為，
即為，且
①當時，，則，即，
，此時，∵，
此時方程僅有一解．
②當時，，由，得，，
若，則，方程有兩解；
若時，則，方程有一解；
若或，原方程無解．
方法二：原方程可化為，
即，
①當時，原方程有一解；
②當時，原方程有二解；
③當時，原方程有一解；
④當或時，原方程無解．
（Ⅲ）由已知得，
．
設數列的前n項和為，且（）
從而有，當時，．
又
．
即對任意時，有，又因為，所以．
則，故原不等式成立．

略