Question

已知函數在上單調遞減且滿足.
（1）求的取值范圍.
（2）設，求在上的最大值和最小值.

Answer 1

（1）；（2）當時，在取得最小值，
在上取得最大值.
當時， 在取得最大值，在時取得最小值.
當時，由，得.
當時，在時取得最小值，在時取得最大值.
當時，在時取得最大值，在時取得最小值，
當時，在時取得最小值；
當時，在時取得最小值.

試題分析：（1）注意到 ，
其導函數為
根據題意得到“對于任意.有”.所以結合二次函數的性質分類討論.
具體情況有，， ，.
（2）注意到，，
討論，，的情況.
而在時，要結合二次函數的圖象和性質，具體地討論①若，即；
②若，即的不同情況.
易錯點在于分類討論不全面.
試題解析：
（1）由得：
則 ，
依題意需對于任意.有.
當時，因為二次函數的圖像開口向上，
而，所以需，即；
當時，對任意有，符合條件；
當時，對任意有，符合條件；
當時，因為，不符合條件.
故的取值范圍為.
（2）因，，
當時，，在取得最小值，
在上取得最大值.
當時，對任意有，在取得最大值，在時取得最小值.
當時，由，得.
①若，即時，在上單調遞增，在時取得最小值，在時取得最大值.
②若，即時，在時取得最大值，在時取得最小值，而，.則當時，在時取得最小值；
當時，在時取得最小值.