Question

設函數f （x）=sin(2x+

π

3

)+

3

3

sin2x-

3

3

cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期及其圖象的對稱軸方程；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移

π

3

個單位長度，得到函數g（x）的圖象，求g （x）在區間[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用和差角公式對f（x）可化為：f（x）=

3

3

sin（2x+

π

6

），由周期公式可求最小正周期，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解出x可得對稱軸方程；
（2）根據圖象平移規律可得g（x）=-

3

3

cos2x，由x的范圍可得2x范圍，從而得cos2x的范圍，進而得g（x）的值域；

解答：解：f（x）=sin2xcos

π

3

+cos2xsin

π

3

-

3

3

cos2x
=

1

2

sin2x+

3

6

cos2x=

3

3

sin（2x+

π

6

），
（1）所以f（x）的最小正周期為T=π，
由2x+

π

6

=kπ+

π

2

，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
所以函數f（x）圖象的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z；
（2）由題意得，g（x）=f（x-

π

3

）=

3

3

sin（2x-

π

2

）=-

3

3

cos2x，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，∴2x∈[-

π

3

，

2

3

π]，
從而cos2x∈[-

1

2

，1]，
所以g（x）的值域為[-

3

3

，

3

6

]．

點評：本題考查三角函數的恒等變換、三角函數的周期及其求法、三角函數的圖象變換等知識，熟練掌握有關基礎知識解決該類題目的關鍵．