Question

20. 現有一組互不相同且從小到大排列的數據：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀＝0.為提取反映數據間差異程度的某種指標，今對其進行如下加工：記T＝a₀+a₁+…+a₅，x_n=，y_n=（a₀+a₁+…+a_n），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折線.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）設P_n－1P_n的斜率為k_n（n=1，2，3，4，5），判斷k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小關系；

（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）<x；

（Ⅳ）求由函數y=x與y=f（x）的圖象所圍成圖形的面積（用a₁，a₂，a₃，a₄，a₅表示）.

Answer 1

20.本小題主要考查函數、不等式等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：f（0）==0，

f（1）==1.

（Ⅱ）解：k_n==，n=1，2，…，5，

因為a₁<a₂<a₃<a₄<a₅，

所以k₁<k₂<k₃<k₄<k₅.

（Ⅲ）證明：由于f（x）的圖象是連接各點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折線，要證明f（x）<x（0<x<1），只需證明f（x_n）<x_n（n=1，2，3，4）.事實上，當x∈（x_n－1，x_n）時，

f（x）=（x－x_n－1）+f（x_n－1）

=f（x_n－1）+f（x_n）

<x_n－1+x_n=x.

下面證明f（x_n）<x_n .

證法一：

對任何n（n=1，2，3，4），

5（a₁+…+a_n）=[n+（5－n）]（a₁+…+a_n）

=n（a₁+…+a_n）+（5－n）（a₁+…+a_n）

≤n（a₁+…+a_n）+（5－n）na_n

=n[a₁+…+a_n+（5－n）a_n]

<n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT，

所以f（x_n）=<=x_n .

證法二：

對任何n（n=1，2，3，4），

當k_n<1時，

y_n=（y₁－y₀）+（y₂－y₁）+…+（y_n－y_n－1）

=（k₁+k₂+…+k_n）<=x_n.

當k_n≥1時，

y_n=y₅－（y₅－y_n）

=1－[（y_n+1－y_n）+（y_n+2－y_n+1）+…+（y₅－y₄）]

=1－（k_n+1+k_n+2+…+k₅）<1－（5－n）==x_n，

綜上，f（x_n）<x_n.

（Ⅳ）解：設S₁為［0，1］上折線f（x）與x軸及直線x=1所圍成圖形的面積，則

S₁＝（y₀+y₁）（x₁－x₀）+（y₁+y₂）（x₂－x₁）+（y₂+y₃）（x₃－x₂）+（y₃+y₄）（x₄－x₃）+（y₄+y₅）（x₅－x₄）

=（2y₁+2y₂+2y₃+2y₄+y₅）

=[a₁+（a₁+a₂）+（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂+a₃+a₄）]+

=（4a₁+3a₂+2a₃+a₄），

直線y=x與折線y=f（x）所圍成圖形的面積為

　　   S＝－S₁＝.