Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

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，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
①求側面A₁ABB₁與底面ABC所成銳二面角的大小；
②求頂點C到側面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

分析：①利用三垂線定理作出角，即作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB，所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角；
②求頂點C到側面A₁ABB₁的距離，直接作出距離解三角形即可．

解答：解：①作A₁D⊥AC，垂足為D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC
作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．
所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中點，BC=2，AC=2

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所以DE=1，AD=A₁D=

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，∴tan∠A₁ED=

A1D

DE

=

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．
故∠A₁ED=60°為所求．
②由點C作平面A₁ABB₁的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A₁ABB₁的距離．
連接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A₁ED=60°
所以CH=BCsin60°=

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為所求．

點評：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，棱柱的性質，空間的角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力．