Question

對于在區間[a，b]上有意義的兩個函數f（x）和g（x），如果對任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，那么我們稱f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（ax+1）與g（x）=log₂x在閉區間[1，2]上是接近的，則a的取值范圍是

[0，1]

．

Answer 1

分析：由已知可得，f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|=|log2

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]，從而有

1

2

≤a+

1

x

≤2 在x∈[1，2]恒成立，只要

a+1≤2 a+ 1 2 ≥ 1 2

進而可求a得取值范圍

解答：解：由已知可得，當x∈[1，2]時，|f（x）-g（x）|=|log₂（ax+1）-log₂x|≤1
即|log2

ax+1

x

|≤1，x∈[1，2]
從而有，

1

2

≤

ax+1

x

≤2，x∈[1，2]
即

1

2

≤a+

1

x

≤2 在x∈[1，2]恒成立
而

1

2

≤

1

x

≤1
只要

a+1≤2 a+ 1 2 ≥ 1 2

解可得，0≤a≤1
故答案為：[0，1]

點評：本題以新定義為切入點，主要考查了函數的恒成立問題與函數最值得相互轉化，解題中要注意在得到

1

2

≤a+

1

x

≤2，x∈[1，2]時要注意對函數a+

1

x

最值得求解是解決本題的關鍵