Question

已知函數f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]．設命題p：“f（x）的定義域為R”；命題q：“f（x）的值域為R”
（1）若命題p為真，求實數a的取值范圍；
（2）若命題q為真，求實數a的取值范圍；
（3）?p是q的什么條件？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）命題p可轉化為恒成立問題，根據類二次函數的性質，可得到a的取值范圍；
（2）命題q可轉化為真數部分的值域包含（0，+∞），據些構造關于a的不等式組，解可得a的取值范圍；
（3）由（1）求出?p，并比較兩個命題對應的參數a的范圍之間的包含關系，進而根據“誰小誰充分，誰大誰必要”可得答案．

解答：解：（1）若命題p為真，即f（x）的定義域是R，
則（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
則a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0.

…（3分）
解得a≤-1或a＞

5

3

．
∴實數a的取值范圍為（-∞，-1]∪(

5

3

，+∞）．…（5分）
（2）若命題q為真，即f（x）的值域是R，
設u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域為A
則A?（0，+∞），…（6分）
等價于a=1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0.

…（8分）
解得1≤a≤

5

3

．
∴實數a的取值范圍為[1，

5

3

]．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
?p：a∈(-1 ， 

5

3

]；q：a∈[1 ， 

5

3

]．
而(-1，

5

3

]?[1，

5

3

]，
∴?p是q的必要而不充分的條件．…（13分）

點評：本題是對數函數性質，恒成立問題，充要條件的綜合應用，（1）中的轉化思想，以及類二次函數的圖象及性質中的分類討論思想，都是高中重點培養的數學思想，（2）的轉化比較難理解，可借助二次函數的圖象和性質進行分析．