Question

點P是曲線x2-y-2ln

x

=0上任意一點，則點P到直線4x+4y+1=0的最小距離是（　　）

• A．

  2

  2

  (1-ln2)
• B．

  2

  2

  (1+ln2)
• C．

  2

  2

  (

  1

  2

  +ln2)
• D．

  1

  2

  (1+ln2)

Answer 1

分析：求出函數的導函數，令導函數等于已知直線的斜率求出x的值，即與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點橫坐標，代入曲線方程求出切點坐標，利用點到直線的距離公式求出切點到直線的距離，即最小距離．

解答：解：x2-y-2ln

x

=0即y=x2-2ln

x

∴y′=2x-

1

x

又4x+4y+1=0即為y=-x-

1

4

令2x-

1

x

=-1得x=

1

2

與直線4x+4y+1=0平行的切線的切點為(

1

2

，

1

4

+ln2)
∴點P到直線4x+4y+1=0的最小距離是d=

|4× 1 2 +4×( 1 4 +ln2)+1|

32

=

2 (1+ln2)

2

故選B

點評：曲線的導函數在切點處的值為曲線的切線斜率，求點到直線的距離最值常轉化為平行直線的距離問題．