Question

（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，與平面所成角的正切值依次是和，，依次是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為. 

【解析】本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運(yùn)用。

（1）第一問中要證明面面垂直關(guān)鍵是證明線面垂直，然后利用判定定理得到。

（2）第二問先根據(jù)線面角的定義，作出線面角，然后利用直角三角形的邊角的關(guān)系求解的得到。

解：（1）∵與平面所成角的正切值依次

是和,∴

∵平面,底面是矩形

∴平面   ∴

∵是的中點    ∴

∴         …………………………7分

（2）解法一：∵平面，∴，又,

∴平面，取中點，中點，聯(lián)結(jié)，

則且，是平行四邊形，

∴即為直線與平面所成的角.  在中，， ，

，

∴直線與平面所成角的正弦值為. 

解法二：分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，，則各點坐標(biāo)分別是

，，，，

，∴，，,

又∵平面，

∴平面的法向量為，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

,         

∴直線與平面所成角的正弦值為.    …………………………15分

解：（1）∵與平面所成角的正切值依次

是和,∴

∵平面,底面是矩形

∴平面   ∴

∵是的中點    ∴

∴         …………………………7分

（2）解法一：∵平面，∴，又,

∴平面，取中點，中點，聯(lián)結(jié)，

則且，是平行四邊形，

∴即為直線與平面所成的角.  在中，， ，

，

∴直線與平面所成角的正弦值為. 

解法二：分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，，則各點坐標(biāo)分別是

，，，，

，∴，，,

又∵平面，

∴平面的法向量為，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

,         

∴直線與平面所成角的正弦值為.    …………………………15分