Question

如圖，在楊輝三角中，斜線上方的數組成數列：1，3，6，10，…，記這個數列的前n項和為S_n，則

lim

n→∞

n3

Sn

=

6

．

Answer 1

分析：設第n個數為a_n，觀察圖中的數據可得a₁=1，a₂-a₁=2，a₃-a₂=3…a_n-a_n-1=n，利用疊加法可求a_n，然后利用分組求和，等差數列的和公式可求S_n，，代入所求式子可求極限．

解答：解：設第n個數為a_n，
則a₁=1
a₂-a₁=2
a₃-a₂=3
a₄-a₃=4
…
a_n-a_n-1=n
疊加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
∴a_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

=

1

2

(n2+n)
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

2

(12+1+22+2+…+n2+n)
=

1

2

[(12+22+…+n2)+(1+2+3+…+n)]
=

1

2

×

1

6

n(n+1)(2n+1)+

1

2

×

n(n+1)

2

=

n(1+n)(n+2)

6

∴

lim

n→∞

n3

Sn

=

lim

n→∞

6n2

n2+3n+2

=

lim

n→∞

6

1+ 3 n + 2 n2

=6
故答案為：6

點評：本題主要考查了歸納推理的應用，數列中疊加求解數列的通項公式，分組求和的求和方法及數列極限的求解，屬于綜合性試題．