Question

關于函數，給出下列命題：
①若函數f（x）是R上周期為3的偶函數，且滿足f（1）=1，則f（2）-f（-4）=0；
②若函數f（x）滿足f（x+1）f（x）=2 013，則f（x）是周期函數；
③若函數g（x）=

x-1，x＞0 f(x)，x＜0

是偶函數，則f（x）=x+1；
④函數y=

log 1 3 |2x-3|

的定義域為（

3

2

，+∞）．
其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①利用函數的周期性和奇偶性求值判斷．②利用周期函數的定義證明．③利用偶函數的定義推導．④利用函數的性質求函數的定義域．

解答：解：①因為函數f（x）是R上周期為3的偶函數，所以f（2）-f（-4）=f（2-3）-f（-4+3）=f（-1）-f（1）=f（1）-f（1）=0，所以①正確．
②由f（x+1）f（x）=2 013，得f（x）≠0，所以f（x+1）f（x）=f（x+1）f（x+2）=2 013，即f（x+2）=f（x），所以函數f（x）是周期為2的周期函數，所以②正確．
③當x＜0時，-x＞0，所以g（-x）=-x-1，因為g（x）是偶函數，所以g（-x）=-x-1=g（x）=f（x），即x＜0時，f（x）=-x-1，所以③錯誤．
④要使函數有意義，則有log

1

3

|2x-3|≥0，即0＜|2x-3|≤1，所以0＜2x-3≤1或-1≤2x-3＜0，解得

3

2

＜x≤2或1≤x＜

3

2

，所以④錯誤．
故答案為：①②．

點評：本題考查的函數的基本性質，對應函數的奇偶性，周期性和對稱性等性質要熟練掌握定義和公式．