Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸，且過點（2，4）．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）已知直線y=kx-2交拋物線于A、B兩點，且AB的中點的橫坐標為2，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），由已知得：16=2p×2，則2p=8，由此能求出拋物線方程．
（2）由

y2=8x y=kx

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，再由根的判別式和韋達定理進行求解．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0）
由已知得：16=2p×2，則2p=8
故拋物線方程為y²=8x…（4分）
（2）由

y2=8x y=kx-2

得，k2x2-（4k+8）x+4=0…（6分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則△=（4k+8）²-16k²＞0，即k＞-1…（8分）
由韋達定理得：x₁+x₂=

4k+8

k2

，x1x2=

4

k2

又

x1+x2

2

=2，即

4k+8

k2

=4，解得：k=2或k=-1（舍）…（10分）
則|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+4)(16-4)

=2

15

…（12分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．