Question

已知橢圓的中心為原點O，一個焦點為F(

3

，0)，離心率為

3

2

．以原點為圓心的圓O與直線y=x+4

2

互相切，過原點的直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓O交于C，D兩點．
（1）求橢圓和圓O的方程；
（2）線段CD恰好被橢圓三等分，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的焦點為F(

3

，0)，離心率為

3

2

，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程，利用以原點為圓心的圓O與直線y=x+4

2

相切，可得圓的半徑，從而可圓的而發愁；
（2）設直線l的方程為y=kx，代入橢圓方程，求得A，B的坐標，求出|AB|，利用線段CD恰好被橢圓三等分，建立方程，可得k的值，從而可求直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓的焦點為F(

3

，0)，離心率為

3

2

，∴c=

3

，

c

a

=

3

2

∴a=2，b=

a2-c2

=1
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1
∵以原點為圓心的圓O與直線y=x+4

2

相切
∴圓O的半徑為

4 2

2

=4
∴圓O的方程為x²+y²=16；
（2）設直線l的方程為y=kx，代入橢圓方程可得

x2

4

+(kx)2=1
∴x=±

4 4k2+1

，∴y=±k

4 4k2+1

∴A（

4 4k2+1

，k

4 4k2+1

），B（-

4 4k2+1

，-k

4 4k2+1

），
∴|AB|=

4 4k2+1 ×4(1+k2)

∵線段CD恰好被橢圓三等分，
∴

4 4k2+1 ×4(1+k2)

=

1

3

×8
∴

1 4k2+1 ×(1+k2)

=

2

3

，
∴k=±

35

7

∴直線l的方程為y=±

35

7

x．

點評：本題考查橢圓、圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．