Question

（已知(

x

+

2

3 a2

)n(0＜a＜1)的展開式中第五項與第三項的二項式系數之比為15：2，求：（1）T₄；（2）滿足T4＜1760xlogax的x的取值范圍．

Answer 1

分析：已知(

x

+

2

3 a2

)n(0＜a＜1)的展開式中第五項與第三項的二項式系數之比為15：2，由此關系建立方程求出指數n，
（1）由二項式項的公式求T₄；
（2）將（1）的結論代入T4＜1760xlogax，解不等式，求出x的取值范圍；

解答：解：由題意

C 4 n

C 2 n

=

15

2

，解得n=12
（1）T₄=C₁₂³×(

x

)9(

2

3 a2

)3=1760×x

9

2

×a^-2
（2）由題意T4＜1760xlogax，得1760×x

9

2

×a^-2 ＜1760xlogax
即x

9

2

×a^-2＜xlogax，兩邊取以a為底的對數得log 2ax-

9

2

logax+2＞0
得log_ax＞4或logax＜

1

2

∵0＜a＜1，x＞0
∴x＞

a

或0＜x＜a⁴
即滿足T4＜1760xlogax的x的取值范圍是x＞

a

或0＜x＜a⁴

點評：本題考查二項式定理，解題的關鍵是掌握二項式系數的性質及二項式展開式中項的公式，組合數的計算公式等，本題考查了排列組合與二項式定理中的基本運算，屬于基礎題．主要考查根據公式進行運算的能力．