Question

先解答（1），再通過類比解答（2）：
（1）①求證：tan(x+

π

4

)=

1+tanx

1-tanx

；②用反證法證明：函數f（x）=tanx的最小正周期是π；
（2）設x∈R，a為正常數，且f(x+a)=

1+f(x)

1-f(x)

，試問：f（x）是周期函數嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是類比推理，在由正切函數的周期性類比推理抽象函數的周期性時，我們常用的思路是：由正切函數的周期性，類比推理抽象函數的周期性；由正切函數的周期性的證明方法，類比推理抽象函數的周期性的證明方法．

解答：解：（1）①證明：tan(x+

π

4

)=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+tanx

1-tanx

．
②假設T是函數f（x）=tanx的一個周期，且0＜T＜π，
則對任意x≠

π

2

+kπ，k∈Z，有tan（x+T）=tanx，令x=0得tanT=0，
而當0＜T＜π時，tanT≠0恒成立或無意義，矛盾，所以假設不成立，原命題成立．
（2）由（1）可類比出函數f（x）是周期函數，它的最小正周期是4a．
證明：因為f(x+2a)=f(x+a+a)=

1+f(x+a)

1-f(x+a)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1- 1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
所以f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-

1

f(x+2a)

=-

1

- 1 f(x)

=f(x)．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．但類比推理的結論不一定正確，還需要經過證明，我們在進行類比推理時，一定要注意對結論進行進一步的論證，如果要證明一個結論是正確的，要經過嚴密的論證，但要證明一個結論是錯誤的，只需要舉出一個反例．