Question

已知拋物線x²=6y的焦點為F，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e=

3

2

，P是它們的一個交點，且|PF|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓C交于兩點A、B，點D滿足

AD

+

BD

=0，直線FD的斜率為k₁，試證明k•k1＞-

1

4

．

Answer 1

分析：（I）設P（x_p，y_p），根據拋物線定義能夠求出yp=

1

2

，xp=±

3

，由此可以求出橢圓C的方程．
（II）由題意知點D為線段AB的中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），由題意知x_D=-4ky_D，yD=

m

1+4k2

＞0，從而求出k1=

yD- 3 2

xD

=

yD- 3 2

-4kyD

-

1

4k

+

3

8kyD

，進而得到k•k1=-

1

4

+

3

8yD

，由此可知k•k1＞-

1

4

．

解答：解：（I）設P（x_p，y_p），根據拋物線定義，yp=

1

2

，
∴xp=±

3

，（2分）
∵e=

3

2

，即

1- b2 a2

=

3

2

，
∴a²=4b²，橢圓是

x2

4b2

+

y2

b2

=1，（4分）
把P(±

3

，

1

2

)代入，得a=2，b=1，橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；（6分）
（II）：∵

AD

+

BD

=0，
∴

AD

=

DB

，點D為線段AB的中點（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），
∵

x12 4 +y12=1 x22 4 +y22=1

，
∴x_D=-4ky_D，
由y_D=k•x_D+m，得yD=

m

1+4k2

＞0，（10分）
∵F(0，

3

2

)，
∴k1=

yD- 3 2

xD

=

yD- 3 2

-4kyD

-

1

4k

+

3

8kyD

，
∴k•k1=-

1

4

+

3

8yD

，
∴k•k1＞-

1

4

．（12分）

點評：本題考查直線和圓錐軸線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．