Question

已知銳角三角形△ABC內角A、B、C對應邊分別為a，b，c．tanA=

3 bc

b2+c2-a2

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由余弦定理表示出b²+c²-a²=2bccosA，代入tanA=

3 bc

b2+c2-a2

即可得到sinA的值，然后根據A的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的大小；
（Ⅱ）由三角形為銳角三角形且由（Ⅰ）得到A的度數可知B+C的度數，利用C表示出B并求出B的范圍，代入所求的式子中，利用兩角差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數為sin（B+

π

6

），然后根據求出的B的范圍求出B+

π

6

的范圍，根據角的范圍，利用正弦函數的圖象即可求出sin（B+

π

6

）的范圍即為cosB+cosC的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，
∴tanA=

3

2cosA

?sinA=

3

2

，
∵A∈(0，

π

2

)，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵△ABC為銳角三角形，且B+C=

2π

3

，
∴

π

6

＜B=

2π

3

-C＜

π

2

，
∴cosB+cosC=cosB+cos(

2π

3

-B)
=cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB
=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin(B+

π

6

)，
∵

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，
即cosB+cosC的取值范圍是(

3

2

，1]．

點評：此題考查了余弦定理，同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的正弦、余弦函數公式及特殊角的三角函數值，是一道綜合題．