已知拋物線
，直線
與E交于A、B兩點，且
，其中O為原點.
（1）求拋物線E的方程；
（2）點C坐標為
，記直線CA、CB的斜率分別為
，證明：
為定值.
（1）
；（2）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題考查拋物線的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的數量積等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，將直線與拋物線方程聯立，消去參數
，得到關于
的方程，得到兩根之和兩根之積，設出點
的坐標，代入到中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得出
的值，從而得到拋物線的標準方程；第二問，先利用點
的坐標得出直線
的斜率，再根據拋物線方程轉化參數
，得到
和的關系式，代入到所求證的式子中，將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得出常數即可.
試題解析：（Ⅰ）將代入
，得
． 2分
其中
設
，
，則
，
． 4分
．
由已知，
，
．
所以拋物線
的方程． 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
．
，同理
， 10分
所以
． 12分
考點：1.拋物線的標準方程；2.韋達定理；3.向量的數量積；4.直線的斜率公式.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知點
分別是橢圓
的左、右焦點, 點
在橢圓上
上.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程;
（Ⅱ）設直線
若
、
均與橢圓相切,試探究在
軸上是否存在定點
,點到
的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
為原點.
（1）如圖1，點
為橢圓
上的一點，
是
的中點，且
，求點到
軸的距離；
（2）如圖2，直線
與橢圓相交于
、
兩點，若在橢圓上存在點
，使四邊形
為平行四邊形，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
:
的離心率為
，過橢圓右焦點
的直線
與橢圓交于點
（點在第一象限）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知
為橢圓的左頂點，平行于
的直線
與橢圓相交于
兩點.判斷直線
是否關于直線
對稱，并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的兩個焦點是F1(
c,0)，F2(c，0)(c>0)。
(I)若直線
與橢圓C有公共點，求
的取值范圍；
(II)設E是(I)中直線與橢圓的一個公共點，求|EF1|+|EF2|取得最小值時，橢圓的方程；
(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點A，B，點Q滿足 
且
，其中N為橢圓的下頂點，求直線l在y軸上截距的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
（1）若橢圓C上一動點
滿足
，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點
作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
，求P點的坐標；
（3）已知
，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（13分） 已知橢圓C的中心在原點，離心率等于
，它的一個短軸端點點恰好是拋物線
的焦點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點，A,B是橢圓上位于直線ＰＱ兩側的動點，
①若直線ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當Ａ、B運動時，滿足
＝
，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
上有一點
，到焦點
的距離為
.
（Ⅰ）求
及
的值.
（Ⅱ）如圖，設直線
與拋物線交于兩點
，且
,過弦
的中點
作垂直于
軸的直線與拋物線交于點
，連接
.試判斷
的面積是否為定值？若是，求出定值；否則，請說明理由.
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與雙曲線
交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點，求點
的軌跡方程．