Question

已知向量 

a

=（1，2），

b

=（cosα，sinα），設

m

=

a

+t

b

（t為實數）．
（1）若α=

π

4

，求當|

m

|取最小值時實數t的值；
（2）若

a

⊥

b

，問：是否存在實數t，使得向量

a

-

b

和向量

m

的夾角為

π

4

，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）若

a

⊥

m

，求實數t的取值范圍A，并判斷當t∈A時函數f（t）=（t，-3）•（t²，t）的單調性．

Answer 1

分析：（1）先把a=

π

4

代入求出向量

b

的坐標，再把 |

m|

轉化為

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

，把所求結論以及已知條件代入得到關于實數t的二次函數，利用配方法求出 |

m|

的最小值以及實數t的值；
（2）先利用向量垂直求出 |

a

-

b

|以及 |

a

+t

b

|和（

a

-

b

）（

a

+t

b

），代入cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，可得關于實數t的方程，解方程即可求出實數t．
（3）利用向量垂直的條件得到t的范圍，再利用導數判斷函數的單調性．

解答：解：（1）因為a=

π

4

，所以

b

=（

2

2

，

2

2

），

a

•

b

=

2 3

3

，
則 |

m|

=

( a +t b )2

=

5+t2+2t a • b

=

t2+3 2 t+5

=

(t+ 3 2 2 )2+ 1 2

所以當 t=-

3 2

2

時，|

m|

取到最小值，最小值為

2

2

．
（2）由條件得cos45°=

( a - b )( a +t b )

| a - b || a +t b |

，
又因為 |

a

-

b

|=

( a - b )2

=

6

，|

a

+t

b

|=

( a +t b )2

=

5+t2

，
（

a

-

b

）（

a

+t

b

）=5-t，則有

5-t

6 5+t2

=

2

2

，且t＜5，
整理得t²+5t-5=0，所以存在t=

-5±3 5

2

滿足條件．
（3）由題意可得：

m

=（1+tcosα，2+tsinα），
因為

a

⊥

m

，
所以5+t（cosα+2sinα）=0，即5+

5

tsin（α+φ）=0
∵|sin（α+φ）|≤1
∴|t|≥

5

，
∴t≥

5

或t≤-

5

，
又f（t）=（t，-3）•（t²，t），
∴f（t）=t³-3t
所以f′（t）=3t²-3，
因為t≥

5

或t≤-

5

，
所以f′（t）=3t²-3＞0，
所以函數f（t）在[

5

，+∞)，(-∞，-

5

]上是增函數．

點評：本題主要考查平面向量的數量積與二次函數的一個現在，以及利用導數判斷函數的單調性．