Question

若函數f（x）在定義域R內可導，f（2+x）=f（2-x），且當x∈（-∞，2）時，（x-2）f'（x）＞0．設a=f（1），b=f(

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)，c=f（4），則a，b，c的大小為

c＞a＞b

．

Answer 1

分析：由f（2+x）=f（2-x），知函數f（x）的對稱軸為x=2，故a=f（1）=f（3），所以c=f（4），b=f(

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)．由由x∈（-∞，2）時，（x-2）f′（x）＞0，知f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上是減函數，所以f（x）在（2，+∞）上是增函數，由此能夠判斷，b，c的大小．

解答：解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴函數f（x）的對稱軸為x=2，
故a=f（1）=f（3），
c=f（4），b=f(

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)．
又由x∈（-∞，2）時，（x-2）f′（x）＞0，
∴f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上是減函數，
所以f（x）在（2，+∞）上是增函數，
于是f（4）＞f（3）＞f（

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），即c＞a＞b．
故答案為：c＞a＞b．

點評：本題考查利用導數判斷函數的單調性，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．