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已知函數f(x)為定義在R上的偶函數，且在(-∞,0］上為減函數，

(1)證明函數f(x)在［0,+∞)上為增函數;

(2)若f(a-1)＞f(1),試求實數a的取值范圍.

    (1)證明：設任意x1、x2∈［0,+∞)且x1＜x2,則0＞-x1＞-x2,

    ∵f(x)在（-∞,0］上為減函數，

    ∴f(-x1)＜f(-x2),

    ∵f(x)為偶函數，∴f(x1)＜f(x2),

    ∴f(x)在［0,+∞）上為增函數.

    (2)解析：當a＞1時,∴a＞2.

    當a-1＜0,即a＜1時，解得a＜0.

    綜上所述：a＜2或a＜0.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果對任意x∈[1，2]，f′（x）＞a2恒成立，求實數a的取值范圍；
（II）設函數f（x）的兩個極值點分別為x1，x2判斷下列三個代數式：①x1+x2+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有幾個為定值？并且是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數g（a），并求出g（a）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x+log2
x
3-x
(x∈(0，3))
（1）求證：f（x）+f（3-x）為定值．
（2）記S(n)=
1
2n
2n-1
i=1
f(1+
i
2n
)(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函數f（x）的圖象與直線x=1，x=2以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，試探究S（n）與S的大小關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
a•2x
2x+
2
的圖象過點(0，
2
-1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設P1（x1，y1），P2（x2，y2）為y=f（x）的圖象上兩個不同點，又點P（xP，yP）滿足：
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，其中O為坐標原點．試問：當xP=
1
2
時，yP是否為定值？若是，求出yP的值，若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
x+1-a
a-x
(x≠a)
（1）當f（x）的定義域為[a+
1
2
，a+1]時，求f（x）的值域；
（2）試問對定義域內的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由；
（3）設函數g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，若
1
2
≤a≤
3
2
，求g（x）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數a（a＞1）是否存在這樣的數列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．

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