Question

已知斜三棱柱側棱與底面邊長均為2，側棱與底面所成的角為60°，且側面ABB₁A₁與底面垂直．
（1）求異面直線B₁C與C₁A所成的角；
（2）求此斜三棱柱的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AB中點D，連結BC₁，交B₁C于點O，連結OD、B₁D．由平行四邊形形的性質和三角形中位線定理，證出∠COD（或補角）是異面直線B₁C與C₁A所成的角．結合題中數據算出△COD的三邊之長，再利用余弦定理即可算出異面直線B₁C與C₁A所成的角大小；
（2）根據余弦定理解三角形，算出cos∠ACC₁=-，從而得到sin∠ACC₁=，可得S=．同樣的方法算出S=，結合S=2和S_△ABC=S=，即可求出此斜三棱柱的表面積．
解答：解：（1）取AB中點D，連結BC₁，交B₁C于點O，連結OD、B₁D
∵平行四邊形BCC₁B₁的對角線交點為O，
∴O為BC₁的中點，可得OD是三角形ABC₁的中位線
∴OD∥AC₁，∠COD（或補角）是異面直線B₁C與C₁A所成的角
∵平面ABC⊥側面ABB₁A₁，平面ABC∩側面ABB₁A₁=AB
正三角形ABC中，CD⊥AB
∴CD⊥側面ABB₁A₁，
∵CD=AB=，B₁D==
可得Rt△CDB₁中，B₁C==，得C0==D0
∴△COD中由余弦定理，得cos∠COD==
因此，異面直線B₁C與C₁A所成的角為arccos；
（2）由（1）得AC₁=2D0=，從而算出cos∠ACC₁==-
∴sin∠ACC₁=，可得S=CC₁•ACcsin∠ACC₁=
同理算出S=
又∵S=A₁A•ABsin60°=2，S_△ABC=S==
∴此斜三棱柱的表面積為
S=S+S+S+S_△ABC+S=2+4．
點評：本題給出特殊三棱柱，求異面直線所成角大小并求該幾何體表面積，著重考查了面面垂直的性質定理、正余弦定理解三角形和面積公式等知識，屬于中檔題．