Question

（2009•棗莊一模）有以下四個命題：
①若x，y∈R，i為虛數單位，且（x-2）i-y=-1+i，則（1+i）^x+y的值為-4；
②將函數f（x）=cos（2x+

π

3

）+1的圖象向左平移

π

6

個單位后，對應的函數是偶函數；
③若直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有交點，則過點（a，b）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有兩個交點；
④在做回歸分析時，殘差圖中殘差點分布的帶狀區域的寬度越窄相關指數越小．
其中所有正確命題的序號為

①③

．

Answer 1

分析：①利用復數的四則運算進行求值．②利用三角函數的圖象和性質判斷．③利用直線與圓的位置關系判斷．④利用回歸分析的知識進行判斷．

解答：解：①由（x-2）i-y=-1+i，得x-2=1且-y=-1，解得x=3，y=1．所以x+y=4，
      所以（1+i）^x+y=（1+i）⁴=（2i）²=-4，所以①正確．
②將函數f（x）=cos（2x+

π

3

）+1的圖象向左平移

π

6

個單位后，得到函數為y=cos[2(x+

π

6

)+

π

3

]+1=cos(2x+

2π

3

)+1，
   此時函數不是偶函數，所以②錯誤．
③因為直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有交點，所以圓心到直線的距離d=

|4|

a2+b2

＞2，即

a2+b2

＜2，即點P（a，b）到原點的距離|OP|＜2，
因為由橢圓的方程可知，a=2，所以點P（a，b）在橢圓的內部，所以過點（a，b）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有兩個交點，所以③正確．
④可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．
則對應相關指數越大，所以④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強，要求熟練掌握相關的知識．