Question

過雙曲線G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點A作斜率為1的直線m，分別與兩漸近線交于B，C兩點，若|AB|=2|AC|，則雙曲線G的離心率為

10

或

10

3

．

Answer 1

分析：先根據條件求出直線l的方程，聯立直線方程與漸近線方程分別求出點B，C的橫坐標，結合條件得出C為AB的中點求出b，a間的關系，進而求出雙曲線的離心率．

解答：解：由題得，雙曲線的右頂點A（a，0）
所以所作斜率為1的直線l：y=x-a，
若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯立其中一條漸近線y=-

b

a

x，則

y=x-a y=- b a x

，
解得x₂=

a2

a+b

①；
同理聯立

y=x-a y= b a x

，
解得x₁=

a2

a-b

②；
又因為|AB|=2|AC|，
（i）當C是AB的中點時，則x₂=

x 1+a

2

⇒2x₂=x₁+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

10

；
（ii）當A為BC的中點時，則根據三角形相似可以得到

a-x2

x1-x2

=

1

3

，
∴x₁+2x₂=3a，
把①②代入整理得：a=3b，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

10

3

．
綜上所述，雙曲線G的離心率為

10

或

10

3

．
故答案為：

10

或

10

3

．

點評：本題考題雙曲線性質的綜合運用，解題過程中要注意由|AC|=|BC|得到C是A，B的中點這以結論的運用．