Question

（05年山東卷理）(14分)

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，其中.

（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

Answer 1

 

解析：（I）如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，記為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離相等

由拋物線(xiàn)的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線(xiàn)，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線(xiàn)

∴軌跡方程為；

（II）如圖，設(shè)，由題意得（否則）且

∴直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為

顯然

將與聯(lián)立消去，得

由韋達(dá)定理知   ①

（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

∴，

∴

由①知：

∴

因此直線(xiàn)的方程可表示為，即

∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)

（2）當(dāng)時(shí)，由，得==

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，則，

此時(shí)，直線(xiàn)的方程可表示為即

∴直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)

綜上，由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).