Question

設(shè)函數(shù)f（x）=的圖象上兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若=（），且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．
（1）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；
（2）求Sn=f（）+f（）+A+f（）+f（）
（3）記T_n為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若T_n＜a（S_n+1+）對(duì)一切n∈N^*都成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證：∵=（），
∴P是P₁P₂的中點(diǎn)?x₁+x₂=1------（2分）
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）====1．
∴=．．-----------------------------（4分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-，
S_n=f（）+f（）+…+f（）+f（），
S_n=f（）+f（）+…+f（）+f（），
相加得 2S_n=f（1）+[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-2
∴．------------（8分）
（3）解：===，
--------------------（10分）　
　?a=
∵≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時(shí)，取“=”
∴=，因此，a-------------------（12分）
分析：（1）由于點(diǎn)在函數(shù)圖象上，同時(shí)滿足=（），那么利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)得到結(jié)論．
（2）根據(jù)f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-，結(jié)合倒序相加法求解得到結(jié)論．
（3）根據(jù)已知的和式得到===，裂項(xiàng)求和的數(shù)學(xué)思想得到證明．
點(diǎn)評(píng)：本試題主要考查了函數(shù)，與向量，以及數(shù)列的知識(shí)的綜合運(yùn)用．以函數(shù)為模型，確定點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，進(jìn)一步結(jié)合向量得到結(jié)論，并利用倒序相加法求解和，同時(shí)利用裂項(xiàng)求和得到不等式的證明．