Question

如圖，梯形ABCD中，CD//AB，，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角的大小為120⁰．
（I）求證：；
（II）求直線PD與平面BCDE所成角的大小；
（III）求點D到平面PBC的距離.

Answer 1

I）證明見解析 （II）直線PD與平面BCDE所成角是．
（III）．

（I）連結AC交DE于F，連結PF．
，．
又，，
，
即CA平分．                                   
是正三角形，
，即PF⊥DE，CF⊥DE，
∴DE⊥面PCF，∴DE⊥PC．                               
（II）過P作于O，連結OD，設AD = DC = CB = a，則AB = 2a，
∵DE⊥面PCF，∴DE⊥PO，
∴PO⊥面BCDE，
∴∠PDO就是直線PD與平面BCDE所成的角．                 
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角，
∴∠PFO= 60°，在RT△POD中，，
直線PD與平面BCDE所成角是．

（III）∵DE∥BC，DE在平面PBC外，，點到面的距離即為點F到面PBC的距離，過點F作FG⊥PC，垂足為G．
∴DE⊥面PCF，
．，
，
∴FG的長即為點F到面PBC的距離．                        
在菱形ADCE中，，．
，，
．