Question

給出下列命題：
①在區間（0，+∞）上，函數y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三個是增函數；
②若log_m3＜log_n3＜0，則0＜n＜m＜1；
③若函數f（x）是奇函數，則f（x-1）的圖象關于點A（1，0）對稱；
④已知函數f(x)=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

則方程 f(x)=

1

2

有2個實數根，
其中正確命題的個數為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由基本初等函數的單調性，可得①中的函數只有2個是增函數，故①不正確；根據對數的運算法則進行等價變形，可得②正確；根據函數圖象平移公式，結合奇函數的圖象關于原點對稱，可得③正確；根據指對數的運算法則，結合分類討論解關于x的方程f(x)=

1

2

，可得④正確．由此可得本題的答案．

解答：解：對于①，四個函數中y=x^-1在區間（0，+∞）上為減函數，
y=（x-1）²在區間（0，+∞）上先減后增，可得有2個函數滿足增函數條件，故①不正確；
對于②，由log_m3＜log_n3＜0，得0＞log₃m＞log₃n
由函數y=log₃x是增函數，可得0＜n＜m＜1，故②正確；
對于③，因為f（x）是奇函數，得y=f（x）圖象關于原點對稱，
將函數圖象向右平移1個單位，得y=f（x-1）的圖象關于（1，0）對稱，得③正確；
對于④，函數f(x)=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，可得當x=2-log₃2或x=

3

+1時滿足 f(x)=

1

2

，
即方程f(x)=

1

2

有2個實數根，可得④正確
其中的真命題是②③④，共3個
故選：C

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了基本初等函數的單調性、函數的奇偶性及圖象特征和指對數運算法則等知識，屬于中檔題．