Question

（2011•閘北區三模）在△ABC中，A、B為定點，C為動點，記∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知c=2，abcos2

C

2

=1．
（1）證明：動點C一定在某個橢圓上，并求出該橢圓的標準方程；
（2）設點O為坐標原點，過點B作直線l與（1）中的橢圓交于M，N兩點，若OM⊥ON，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據c=2，abcos2

C

2

=1以及余弦定理可得動點C到定點A、B的距離和為定值，且定值大于AB的長，滿足橢圓的定義，從而可求出橢圓的方程；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），討論直線的斜率是否存在，然后根據OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，即x₁•x₂+y₁•y₂=0建立方程，從而可求出k的值得到直線l的方程．

解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，|a+b|=

4+2ab(1+cosC)

=2

1+abcos2 C 2

=2

2

＞2，
所以，點P的軌跡C是以A，B為焦點，長軸長2a=2

2

的橢圓．
如圖，以A、B所在的直線為x軸，以A、B的中點為坐標原點建立直角坐標系．
則A（-1，0），B（1，0）．
橢圓C的標準方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，不符題意．
②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1）．
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，
所以x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1•x2=

2(k2-1)

1+2k2

．
于是：y1•y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

-k2

1+2k2

．
因為OM⊥ON，所以

OM

•

ON

=0，
所以x1•x2+y1•y2=

k2-2

1+2k2

=0，
所以，k=±

2

，
所以，直線l的方程為：y=±

2

(x-1)．

點評：本題主要考查了橢圓的判斷以及橢圓方程的求解，直線與橢圓的位置關系，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．