Question

（本小題滿分14分）

已知二次函數，關于的不等式的解集為，其中為非零常數.設.

（1）求的值；

（2）R如何取值時，函數存在極值點，并求出極值點；

（3）若，且，求證：N

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當時，取任意實數, 函數有極小值點；

當時，，函數有極小值點，有極大值點.

(其中, )

（3）① 當時，左邊，右邊，不等式成立；② 假設當N時，不等式成立，即，

則

  

. 

也就是說，當時，不等式也成立.

由①②可得，對N，都成立.

【解析】

試題分析：（1）解：∵關于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

∴.

∴.

∴.

∴.    

(2)解法1:由(1)得.

∴的定義域為.

∴. 

方程（*）的判別式

.  

①時，，方程（*）的兩個實根為

 

則時，；時，.

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點.

②當時，由,得或，

若，則

故時，，

∴函數在上單調遞增.

∴函數沒有極值點. 

若時，

則時，；時，；時，.

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點，有極大值點.

綜上所述, 當時，取任意實數, 函數有極小值點；

當時，，函數有極小值點，有極大值點.

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定義域為.

∴. 

若函數存在極值點等價于函數有兩個不等的零點，且

至少有一個零點在上.

令,

得, (*)

則,(**)

方程（*）的兩個實根為, .

設,

①若,則,得,此時,取任意實數, (**)成立.

則時，；時，.

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點.

②若,則得

又由(**)解得或,

故.

則時，；時，；時，.

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

∴函數有極小值點，有極大值點.

綜上所述, 當時，取任何實數, 函數有極小值點；

當時，，函數有極小值點，有極大值點 

(其中, )

(2)證法1：∵， ∴.

∴ 

.

令，

則

.

∵，

∴ 

.   

∴，即.   

證法2：下面用數學歸納法證明不等式.

① 當時，左邊，右邊，不等式成立；

② 假設當N時，不等式成立，即，

則

  

  

. 

也就是說，當時，不等式也成立.

由①②可得，對N，都成立.

考點：本小題主要考查二次函數、一元二次不等式、一元二次方程、函數應用、均值不等式等基礎知識

點評：本題計算量大，第二問中要對參數分情況討論再次加大了試題的難度，第三問數學歸納法用來證明和正整數有關的題目。本題還考查了數形結合、函數與方程、分類與整合、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創新意識