Question

已知函數f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，下列結論：
①函數f（x）是偶函數；
②若f（0）=f（2）時，則函數f（x）的圖象必關于直線x=1對稱；
③若m²-n≤0，則函數f（x）在區間（-∞，m]上是減函數；
④函數f（x）有最小值|n-m²|．其中正確的序號是

③

．

Answer 1

分析：①根據偶函數的性質驗證f（-x）與f（x）的關系對①進行判斷；
②根據點對稱的性質進行判斷；
③已知m²-n≤0，可以判斷x²-2mx+n≥0恒成立，從而去掉絕對值，再利用函數的圖象進行判斷；
④已知f（x）=）=|x²-2mx+n|≥0恒成立，最下值應為0，需要n-m²=0，從而進行判斷；

解答：解：①∵函數f（x）=|x²-2mx+n|，f（-x）=|x²+2mx+n|，若m≠0，顯然f（-x）≠f（x），故①錯誤；
②函數f（x）=|x²-2mx+n|，x∈R，對稱軸為x=m，若f（0）=f（2），可得|n|=|4-4m+n|，解不出m=1，故②錯誤；
③∵m²-n≤0，可得△=（-2m）²-4n=4m²-4n=4（m²-n）≤0，f（x）的圖象開口向上，函數圖象在x軸上方，
∴f（x）=|x²-2mx+n|=x²-2mx+n，對稱軸為x=m，開口向上，
∴函數f（x）在區間（-∞，m]上是減函數，故③正確；
④函數f（x）≥0，說明其最小值為0，但是|n-m²|不一定等于0，故④錯誤，
故答案為：③；

點評：此題主要考查二次函數的性質，圖象及其對稱軸的問題，是一道基礎題，考查的知識點比較多比較全面；