Question

設a＞0，f（x）=x²+a|lnx-1|．
（1）當a=2時，求f（x）的單調區間；
（2）當x∈[1，+∞）時，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，f（x）=x²+2|lnx-1|，利用零點分段法，我們可將函數化為分段函數的形式，進而根據分段函數分段處理的原則，分別求出當x＞e時，和當0＜x＜e時，導函數的解析式，利用導數法，即可求出f（x）的單調區間；
（2）類比（1），利用導數法，我們可以判斷出f（x）在（e，+∞）單增，f（x）在(

a 2

，+∞)單增，f（x）在(0，

a 2

)單減，進而根據分段函數最值的求法，可得當

a 2

≥e⇒a≥2e2時，f_min（x）=f（e）=e²，當1＜

a 2

＜e⇒2＜a＜2e2時，fmin(x)=f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，當

a 2

≤1⇒0＜a≤2時，f_min（x）=f（1）=1+a．

解答：解：（1）當a=2時，f(x)=

x2+2lnx-2，x≥e x2-2lnx+2，0＜x＜e

當x＞e時，f′(x)=2x+

2

x

=

2x2+2

x

＞0恒成立，
當0＜x＜e時，f′(x)=2x-

2

x

=

2x2-2

x

，
令f′（x）＞0得1＜x＜e
又

lim

x→e-

f(x)=

lim

x→e+

f(x)=f(e)=e2，
故f（x）在x=e處連續，
所以函數f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
（2）當x＞e時，f′(x)=2x+

a

x

＞0，故f（x）在（e，+∞）單增
當0＜x＜e時，f′(x)=2x-

a

x

=

2x2-a

x

，
令f′(x)=

2x2-a

x

＞0⇒x＞

a 2

則f（x）在(

a 2

，+∞)單增，
f（x）在(0，

a 2

)單減．
又f（x）在x=e處連續．
故，當

a 2

≥e⇒a≥2e2時，
f_min（x）=f（e）=e²
當1＜

a 2

＜e⇒2＜a＜2e2時，
fmin(x)=f(

a 2

)=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

當

a 2

≤1⇒0＜a≤2時，
f_min（x）=f（1）=1+a

點評：本題考查的知識點是函數的單調性及單調區間，利用導數研究函數的單調性，利用導數求閉區間上函數的最值，其中利用零點分段法，將函數的解析式化為分段函數的形式，是解答本題的關鍵，另外解答時要注意函數的定義域為（0，+∞），以免產生錯誤．