Question

設x、y∈R，在直角坐標平面內，

a

=(x，y+

3

)，

b

=(x，y-

3

)且|

a

|+|

b

|=4．設點M（x，y）的軌跡為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時

OA

⊥

OB

？此時|

AB

|的值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據|

a

|+|

b

|=4，可判斷曲線C為橢圓，欲求 軌跡C的方程，只需求出橢圓的長半軸長，短半軸長，由

a

=(x，y+

3

)，

b

=(x，y-

3

)，|

a

|+|

b

|=4求出a，b即可．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則A，B兩點為直線y=kx+1與橢圓交點，可用兩曲線方程聯立，求x₁x₂+y₁y₂，再根據

OA

⊥

OB

時，x₁x₂+y₁y₂=0，就可求出k只，再用弦長公式求|

AB

|．

解答：解：（Ⅰ）∵|

a

|+|

b

|=4，
∴

x2+(y+ 3 )2

+

x2+(y- 3 )2

=4，
它表示以點F1(0，-

3)

、F2(0，

3)

的橢圓，其方程為x2+

y2

4

=1，這就是所求C的方程．
（Ⅱ設直線y=kx+1與C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
由

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

消去y得4x²+（kx+1）²=4，整理得（4+k²）x²+2kx-3=0
其△=（2k）²+12（4+k²）＞0恒成立．
由韋達定理得x1+x2=-

2k

4+k2

，x1x2=-

3

4+k2

．
則y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-

3k2

4+k2

-

2k2

4+k2

+1=

4-4k2

4+k2

，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 k2+3

4+k2

由

OA

⊥

OB

得，x₁x₂+y₁y₂=0，即-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0，
解得k=±

1

2

，
此時|

AB

|=

1+k2

|x₁-x₂|=

4 65

17

．
．綜上得，當k=±

1

2

時，

OA

⊥

OB

，此時|

AB

|的值是

4 65

17

．

點評：本題考查了定義法求橢圓方程，以及只限于橢圓位置關系的判斷，注意設而不求思想的應用．