Question

定義，設實數x，y滿足約束條件，z=max{4x+y，3x-y}，則z的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：先找出可行域，即四邊形ABCD上及其內部，（4x+y）與（3x-y）相等的分界線x+2y=0，令z=4x+y時，點（x，y）在四邊形MNCD上及其內部，求得z范圍；令z=3x-y，點（x，y）在四邊形ABNM上及其內部（除AB邊）求得z范圍，將這2個范圍取并集可得答案．
解答：解：當4x+y≥3x-y時可得x+2y≥0
則原題可轉化為：當，Z=4x+y
作出不等式組所表示的平面區域如圖所示的陰影部分的MDCN，作直線l：4x+y=0然后把直線l向可行域平移
則可知直線平移到C（2，2）時Z_max=10，平移到點N（-2，1）時Z_min=-6
此時有-6≤z≤10

當，Z=3x-y
作出不等式組所表示的平面區域如圖所示的ABNM作直線l：3x-y=0，然后把直線3x-y=0向可行域平移
則可知直線平移到M（-2，1）時Z_min=-7，平移到點B（2，-2）時，Z_max=8
此時有-7≤z≤8
綜上可得，-7≤Z≤10


點評：本題表面上看約束條件和目標函數都是靜態的，實際上二者都是動態變化的，目標函數是z=4x+y還是z=3x-y并沒有明確確定下來，直線x+2y=0又將原可行域分為兩部分．解題的關鍵是通過比較4x+y與3x-y的大小，同時目標函數及可行域都將發生變化．此題構思比較巧妙．