Question

[已知數列{a_n}滿足：，a₂=1，數列為等差數列；數列{b_n}中，S_n為其前n項和，且，．
（1）求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）記A_n=a_na_n+1，求數列{A_n}的前n項和S；
（3）設數列{c_n}滿足，T_n為數列{c_n}的前n項和，求x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據給出的數列{b_n}的前n項和所滿足的等式，求出S_n，然后由求出通項，繼而可說明數列{b_n}是等比數列；
（2）由數列為等差數列求出數列{a_n}的通項公式，然后運用裂項法求數列{A_n}的前n項和S；
（3）把a_n，b_n的通項公式代入求c_n，把x_n=T_n+1-2T_n+T_n-1變形后換上c_n，得到關于n的函數式，寫出X_n+1，與X_n作差后分析差式的單調性，從而得到X_n的最大值．
解答：解：（1）由得，，當n≥2時，，又，故，故數列{b_n}是等比數列；
（2）∵，∴，，∴d==3，∴，則，
∴，
∴；
（3）∵
∴，
，
故當n≤7時，{x_n}是遞減的，當n≥8時，{x_n}是遞增的，但n≥8時，x_n＜0
故x_n的最大值為．
點評：本題是等差數列和等比數列的綜合題，考查了裂項法對數列求和，（3）的解答運用函數思想，借助于函數的單調性分析出了函數取最大值時的n的值，該題是中檔以上難度題型．