Question

設f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)的圖象關于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0.
(1)求實數a，b的值；
(2)討論函數f(x)的單調性，并求出單調區間 。

Answer 1

（1）a=3、  b=—12；(2)單調等增區間為（-∞，-2）和（1，+∞），單調遞減區間為（-2，1）。

解析試題分析：(1) 因為f′(x) 的圖象關于直線x＝－對稱，所以，所以a=3；又f′(1)＝0，所以b=—12。
(2)由(1)知，知f（x）=2x³+3x²-12x+1，所以f′（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2），
令f′（x）=0，得x=1或x=-2，
當x∈（-∞，-2）時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，-2）上是增函數；
當x∈（-2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（-2，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數。
所以f(x)的單調等增區間為（-∞，-2）和（1，+∞），單調遞減區間為（-2，1）。
考點：本題考查利用導數研究函數的單調性；二次函數的性質。
點評：當f(x)不含參數時，可通過解不等式f′（x）＞0(或f′（x）＜0)直接得到單調遞增(或單調遞減)區間。但要注意函數的定義域。