Question

（2012•河北模擬）定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數）；②當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²，若函數f（x）的圖象上所有極大值對應的點均落在同一條直線上，則c等于（　　）

A．1

B．2

C．1或2

D．4或2

Answer 1

分析：由已知可得分段函數f（x）的解析式，進而求出三個函數的極值點坐標，根據三點共線，則任取兩點確定的直線斜率相等，可以構造關于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²
當1≤x＜2時，2≤2x＜4，
則f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

[1-（2x-3）²]
此時當x=

3

2

時，函數取極大值

1

c

當2≤x≤4時，f（x）=1-（x-3）²
此時當x=3時，函數取極大值1
當4＜x≤8時，2＜

1

2

x≤4
則f（x）=cf（

1

2

x）=c（1-（

1

2

x-3）²，
此時當x=6時，函數取極大值c
∵函數的所有極大值點均落在同一條直線上，
即點（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共線，
∴

1- 1 c

3- 3 2

=

c-1

6-3

解得c=1或2．
故選C

點評：本題考查的知識點是三點共線，函數的極值，其中根據已知分析出分段函數f（x）的解析式，進而求出三個函數的極值點坐標，是解答本題的關鍵．