Question

如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足AM=2AP，NP⊥AM，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線l交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足FG=

1

2

FH，求直線l的方程；
（3）設曲線E的左右焦點為F₁，F₂，過F₁的直線交曲線于Q，S兩點，過F₂的直線交曲線于R，T兩點，且QS⊥RT，垂足為W；
（ⅰ）設W（x₀，y₀），證明：

x 2 0

2

+

y

2 0

＜1；
（ⅱ）求四邊形QRST的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于AM=2AP且NP⊥AM即NP為AM的中垂線故聯想到連接NA即可觀察出NA+NC=CM=2

2

在根據圓錐曲線的定義可寫出曲線E的方程．
（2）設G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）根據FG=

1

2

FH可利用定比分點坐標公式（λ=

1

2

）找到點G，H的坐標間的關系然后代入到曲線E的方程可求出點D或G再根據直線的斜率公式求出斜率后有點斜式直接寫出直線方程．
（3）（i）由過F₁的直線交曲線于Q，S兩點，過F₂的直線交曲線于R，T兩點，且QS⊥RT可得出W在以F₁F₂為直徑的圓上且F₁F₂=2，F₁（-1，0），F₂（1，0）可得出w滿足x₀²+y₀²=1再利用

x02

2

＜ x02進行放縮即可得證．
     （ii）當斜率不存在或斜率為0時易得面積S=

2

，當斜率存在時設為k則可得QS的方程為y=k（x+1）同時設Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）可令y=k（x+1）與

x2

2

+y2=1聯立可求出x₃+x₄，x₃x₄后可利用弦長公式求出|QS|，再用-

1

k

代替|QS|中的k即得到|RT|即可得出四邊形QRST的面積的表達式然后利用均值不等求出最小值，再將此最小值與

2

比較大小即可求出面積的最小值．

解答：解：（1）∵NP為AM的中垂線
∴NA=NM
∴NA+NC=CM=2

2

∴N的軌跡為A，C為焦點的橢圓2a=2

2

∴a=

2

，c=1
∴b=1
∴方程為

x2

2

+y2=1
（2）當λ=

1

2

時，即G為FH中點時，設G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂）
∴

x2=2x1 y2=2(y1-1)

，代入橢圓得y2=

5× 1 2 -3

4× 1 2

=-

1

4

，
∴x22=

15

8

∴x2=±

30

4

∴y=±

3 30

10

x+2
（3）（i）∵由過F₁的直線交曲線于Q，S兩點，過F₂的直線交曲線于R，T兩點，且QS⊥RT
∴W在以F₁F₂為直徑的圓上，F₁F₂=2
∴x₀²+y₀²=1
∴

x02

2

+y02＜x02+y02=1
（ii）設QS的方程為y=k（x+1）（當k存在且不為0時）
 代入

x2

2

+y2=1
∴（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
 設Q（x₃，y₃），S（x₄，y₄）
∴x3+x4=

-4k2

1+2k2

，x3x4=

2k2-2

1+2k2

，
∴|QS|=

1+k2

|x3-x4|=2

2

1+k2

1+2k2

，
∵QS⊥RT
∴KRT=-

1

k

，同理，|RT|=2

2

•

k2+1

k2+2

∴S=

1

2

RT•QS=4•

(1+k2)2

(1+2k2)(k22)

≥4•

(1+k2)

( 1+2k2+k2+2 2 )2

=

16

9

（當且僅當k²=1時，取等號）
當k不存在或k=0時，S=

2

∵

16

9

＞

2

∴Smin=

2

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題的考查，是綜合題有一定的難度．主要考查了利用圓錐曲線的定義求曲線方程（第一問），利用定比分點公式結合曲線方程求直線方程（第二問），利用圓的定義證明不等式和利用直線和曲線連立以及弦長公式求面積的最小值（第三問）．同時題目中還涉及到了斜率存在與不存在的討論，這也是分類討論思想在解題中的應用的一個體現！