Question

（06年北京卷文）（14分）

橢圓C:的兩個焦點為F₁,F₂,點P在橢圓C上，且

    （Ⅰ）求橢圓C的方程；

    （Ⅱ）若直線l過圓x²+y²+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.

Answer 1

解析：解法一：

(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF₁F₂中，故橢圓的半焦距c=,

從而b²=a²－c²=4,

  所以橢圓C的方程為＝1.

(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）.

   已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.

   從而可設直線l的方程為

   y=k(x+2)+1,

   代入橢圓C的方程得

  （4+9k²）x²+(36k²+18k)x+36k²+36k－27=0.

   因為A，B關于點M對稱.

   所以

   解得，

   所以直線l的方程為

   即8x-9y+25=0.

   (經檢驗，所求直線方程符合題意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）²+(y－1)²=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.

   設A，B的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).由題意x₁x₂且

                                                                    ①

                                                                    ②

由①－②得

                      ③

因為A、B關于點M對稱，

所以x₁+ x₂=－4, y₁+ y₂=2,

代入③得＝，

即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y－1＝（x+2），

即8x－9y+25=0.

(經檢驗，所求直線方程符合題意.)